Tropical Kraus maps for optimal control of switched systems

Kraus maps (completely positive trace preserving maps) arise classically in quantum information, as they describe the evolution of noncommutative probability measures. We introduce tropical analogues of Kraus maps, obtained by replacing the addition of positive semidefinite matrices by a multivalued supremum with respect to the L\"owner order. We show that non-linear eigenvectors of tropical Kraus maps determine piecewise quadratic approximations of the value functions of switched optimal control problems. This leads to a new approximation method, which we illustrate by two applications: 1) approximating the joint spectral radius, 2) computing approximate solutions of Hamilton-Jacobi PDE arising from a class of switched linear quadratic problems studied previously by McEneaney. We report numerical experiments, indicating a major improvement in terms of scalability by comparison with earlier numerical schemes, owing to the "LMI-free" nature of our method.Comment: 15 page

Minimal upper bounds in the löwner order and application to invariant computation for switched systems

Le calcul d'ensembles invariants est un élément crucial en vérification de programme et en théorie du contrôle, car de tels ensembles certifient l'absence de comportements indésirables. Nous étudions en particulier les systèmes commutés, pour lesquel le calcul d'un ensemble invariant est déjà difficile. Plusieurs approches récentes utilisant des techniques d'optimisation telles la programmation semidéfinie ont été appliquées avec succès au calcul d'invariants quadratiques par morceaux pour des systèmes commutés. En revanche, ces méthodes ne sont pas utilisables en grande dimension car elles nécessitent trop de ressources informatiques.Nous développons dans cette thèse une nouvelle classe d'algorithme pour calculer des invariants quadratiques par morceaux. Ces algorithmes reposent sur les propriétés géométriques et métriques de l'espace des matrices positive semidéfinies équipées de l'ordre de Löwner.Tout d'abord, nous caractérisons l'ensemble des majorants minimaux dans cet ordre. Nous montrons que l'ensemble des majorants minimaux de deux matrices s'identifie au quotient d'un groupe orthogonal indéfini, donnant ainsi un raffinement "quantitatif" d'un théorème de Kadison. Plus généralement, nous caractérisons les majorants minimaux dans un ordre défini par un cône et nous prouvons qu'il existe pour une grande famille de cônes une sélection de majorant minimal canonique, définie à partir des fonctions génératrices de ces cônes. Ceci généralise la définition de l'ellipsoïde de Löwner. dans le cas du cône des matrices positives semidéfinies, nous montrons que cette sélection canonique satisfait plusieurs inégalités matricielles et nous donnons des estimations de sa constante de Lipschitz par rapport à plusieurs métriques convenables définies sur l'intérieur du cône (métrique Riemannienne, métrique de Thompson).Nous appliquons ensuite ces résultats au calcul d'invariants quadratiques par morceaux. Nous formulons ce dernier comme un problème de point fixe non-linéaire sur un produit de cônes de matrices positives semidéfinies. Ce problème fait intervenir un opérateur qui peut s'interpréter comme l'analogue tropical d'une application de Kraus (un canal quantique) qui apparaît en théorie d'information quantique. Nous obtenons ainsi une classe de schémas itératifs rapides, n'utilisant les inégalités linéaires matricielles, dont nous prouvons la convergence sous quelques restrictions. Nous avons implémenté cette approche en développant l'outil MEGA (``Minimal ellipsoid geometricanalyser''). Nos résultats expérimentaux démontrent une amélioration de l'ordre de quelques ordres de grandeur en termes de scalabilité (par exemple, approximation du "rayon spectral joint" en dimension 500). Nous avons aussi appliqué cette méthode à l'approximation de la fonction valeur d'un problème de contrôle optimal commutant entre des modèles linéaires-quadratiques.The computation of invariant sets for dynamical systems is a crucialelement of program verification and control theory, as such setscertify the absence of unwanted behaviours. We consider in particularswitched systems, for which the computation of invariants is alreadydifficult. Recently, several approaches based on optimizationtechniques such as semi-definite programming have been appliedsuccessfully to compute piecewise quadratic invariants of switchedsystems. However, their high computational cost becomes prohibitive onlarge instances.In this thesis, we develop a new class of algorithms to computepiecewise quadratic invariants. These algorithms rely on geometrical and metricproperties of the space of positive semidefinite matrices equippedwith the Löwner order.First, we characterize minimal upper bounds in this order. We show inparticular that the set of minimal upper bounds of two matrices can beidentified to a quotient of an indefinite orthogonal group, providinga ``quantitative'' refinement of a theorem of Kadison. More generally,we characterize minimal upper bounds with respect to a cone ordering,and show that for a wide family of cones, there is a canonicalselection of a minimal upper bound, defined in terms of the generatingfunction of the cones. This extends the construction of the Löwnerellipsoid. In the case of the cone of positive semidefinite matrices,we show that this canonical selection satifies several matrixinequalities, and we estimate its Lispchitz constant with respect toconvenient invariant metrics defined on the interior of the cone(Riemannian metric, Thompson metric).Then, we apply these results to the computation of piecewise-quadraticinvariants. We formulate the latter as a non-linear fixed pointproblem over a product of spaces of positive definite matrices. Thisproblem involves an operator which may be thought of as the tropicalanalogue of the Kraus maps (quantum channels) arising in quantuminformation theory. This leads to a class of fast iterative numericalschemes, avoiding the recourse to linear matrix inequalities, which weshow to converge, under some restrictions. We implemented thisapproach, by developing the tool MEGA (``Minimal ellipsoid geometricanalyser''), and report experimental results, on switched linear andaffine systems, showing an improvement of several orders of magnitudein terms of scalability, on some instances (with e.g., approximationsof the joint spectral radius in dimension 500). We also applied thismethod to the approximation of the value function of switched linearquadratic optimal control problems

Majorants minimaux dans l'ordre de löwner et application au calcul d'invariants de systèmes commutés

The computation of invariant sets for dynamical systems is a crucialelement of program verification and control theory, as such setscertify the absence of unwanted behaviours. We consider in particularswitched systems, for which the computation of invariants is alreadydifficult. Recently, several approaches based on optimizationtechniques such as semi-definite programming have been appliedsuccessfully to compute piecewise quadratic invariants of switchedsystems. However, their high computational cost becomes prohibitive onlarge instances.In this thesis, we develop a new class of algorithms to computepiecewise quadratic invariants. These algorithms rely on geometrical and metricproperties of the space of positive semidefinite matrices equippedwith the Löwner order.First, we characterize minimal upper bounds in this order. We show inparticular that the set of minimal upper bounds of two matrices can beidentified to a quotient of an indefinite orthogonal group, providinga ``quantitative'' refinement of a theorem of Kadison. More generally,we characterize minimal upper bounds with respect to a cone ordering,and show that for a wide family of cones, there is a canonicalselection of a minimal upper bound, defined in terms of the generatingfunction of the cones. This extends the construction of the Löwnerellipsoid. In the case of the cone of positive semidefinite matrices,we show that this canonical selection satifies several matrixinequalities, and we estimate its Lispchitz constant with respect toconvenient invariant metrics defined on the interior of the cone(Riemannian metric, Thompson metric).Then, we apply these results to the computation of piecewise-quadraticinvariants. We formulate the latter as a non-linear fixed pointproblem over a product of spaces of positive definite matrices. Thisproblem involves an operator which may be thought of as the tropicalanalogue of the Kraus maps (quantum channels) arising in quantuminformation theory. This leads to a class of fast iterative numericalschemes, avoiding the recourse to linear matrix inequalities, which weshow to converge, under some restrictions. We implemented thisapproach, by developing the tool MEGA (``Minimal ellipsoid geometricanalyser''), and report experimental results, on switched linear andaffine systems, showing an improvement of several orders of magnitudein terms of scalability, on some instances (with e.g., approximationsof the joint spectral radius in dimension 500). We also applied thismethod to the approximation of the value function of switched linearquadratic optimal control problems.Le calcul d'ensembles invariants est un élément crucial en vérification de programme et en théorie du contrôle, car de tels ensembles certifient l'absence de comportements indésirables. Nous étudions en particulier les systèmes commutés, pour lesquel le calcul d'un ensemble invariant est déjà difficile. Plusieurs approches récentes utilisant des techniques d'optimisation telles la programmation semidéfinie ont été appliquées avec succès au calcul d'invariants quadratiques par morceaux pour des systèmes commutés. En revanche, ces méthodes ne sont pas utilisables en grande dimension car elles nécessitent trop de ressources informatiques.Nous développons dans cette thèse une nouvelle classe d'algorithme pour calculer des invariants quadratiques par morceaux. Ces algorithmes reposent sur les propriétés géométriques et métriques de l'espace des matrices positive semidéfinies équipées de l'ordre de Löwner.Tout d'abord, nous caractérisons l'ensemble des majorants minimaux dans cet ordre. Nous montrons que l'ensemble des majorants minimaux de deux matrices s'identifie au quotient d'un groupe orthogonal indéfini, donnant ainsi un raffinement "quantitatif" d'un théorème de Kadison. Plus généralement, nous caractérisons les majorants minimaux dans un ordre défini par un cône et nous prouvons qu'il existe pour une grande famille de cônes une sélection de majorant minimal canonique, définie à partir des fonctions génératrices de ces cônes. Ceci généralise la définition de l'ellipsoïde de Löwner. dans le cas du cône des matrices positives semidéfinies, nous montrons que cette sélection canonique satisfait plusieurs inégalités matricielles et nous donnons des estimations de sa constante de Lipschitz par rapport à plusieurs métriques convenables définies sur l'intérieur du cône (métrique Riemannienne, métrique de Thompson).Nous appliquons ensuite ces résultats au calcul d'invariants quadratiques par morceaux. Nous formulons ce dernier comme un problème de point fixe non-linéaire sur un produit de cônes de matrices positives semidéfinies. Ce problème fait intervenir un opérateur qui peut s'interpréter comme l'analogue tropical d'une application de Kraus (un canal quantique) qui apparaît en théorie d'information quantique. Nous obtenons ainsi une classe de schémas itératifs rapides, n'utilisant les inégalités linéaires matricielles, dont nous prouvons la convergence sous quelques restrictions. Nous avons implémenté cette approche en développant l'outil MEGA (``Minimal ellipsoid geometricanalyser''). Nos résultats expérimentaux démontrent une amélioration de l'ordre de quelques ordres de grandeur en termes de scalabilité (par exemple, approximation du "rayon spectral joint" en dimension 500). Nous avons aussi appliqué cette méthode à l'approximation de la fonction valeur d'un problème de contrôle optimal commutant entre des modèles linéaires-quadratiques

Maximal lower bounds in the Löwner order

eprint: arXiv:1612.05664 [math.RA]International audienceWe show that the set of maximal lower bounds of two symmetric matrices with respect to the L\"owner order can be identified to the quotient set O(p,q)/(O(p)×O(q)). Here, (p,q) denotes the inertia of the difference of the two matrices, O(p) is the p-th orthogonal group, and O(p,q) is the indefinite orthogonal group arising from a quadratic form with inertia (p,q). We also show that a similar result holds for positive semidefinite maximal lower bounds with maximal rank of two positive semidefinite matrices. We exhibit a correspondence between the maximal lower bounds C of two matrices A,B and certain pairs of subspaces, describing the directions on which the quadratic form associated with C is tangent to the one associated with A or B. The present results refines a theorem from Kadison that characterizes the existence of the infimum of two symmetric matrices and a theorem from Moreland, Gudder and Ando on the existence of the positive semidefinite infimum of two positive semidefinite matrices

Majorants minimaux dans l'ordre de löwner et application au calcul d'invariants de systèmes commutés

The computation of invariant sets for dynamical systems is a crucialelement of program verification and control theory, as such setscertify the absence of unwanted behaviours. We consider in particularswitched systems, for which the computation of invariants is alreadydifficult. Recently, several approaches based on optimizationtechniques such as semi-definite programming have been appliedsuccessfully to compute piecewise quadratic invariants of switchedsystems. However, their high computational cost becomes prohibitive onlarge instances.In this thesis, we develop a new class of algorithms to computepiecewise quadratic invariants. These algorithms rely on geometrical and metricproperties of the space of positive semidefinite matrices equippedwith the Löwner order.First, we characterize minimal upper bounds in this order. We show inparticular that the set of minimal upper bounds of two matrices can beidentified to a quotient of an indefinite orthogonal group, providinga ``quantitative'' refinement of a theorem of Kadison. More generally,we characterize minimal upper bounds with respect to a cone ordering,and show that for a wide family of cones, there is a canonicalselection of a minimal upper bound, defined in terms of the generatingfunction of the cones. This extends the construction of the Löwnerellipsoid. In the case of the cone of positive semidefinite matrices,we show that this canonical selection satifies several matrixinequalities, and we estimate its Lispchitz constant with respect toconvenient invariant metrics defined on the interior of the cone(Riemannian metric, Thompson metric).Then, we apply these results to the computation of piecewise-quadraticinvariants. We formulate the latter as a non-linear fixed pointproblem over a product of spaces of positive definite matrices. Thisproblem involves an operator which may be thought of as the tropicalanalogue of the Kraus maps (quantum channels) arising in quantuminformation theory. This leads to a class of fast iterative numericalschemes, avoiding the recourse to linear matrix inequalities, which weshow to converge, under some restrictions. We implemented thisapproach, by developing the tool MEGA (``Minimal ellipsoid geometricanalyser''), and report experimental results, on switched linear andaffine systems, showing an improvement of several orders of magnitudein terms of scalability, on some instances (with e.g., approximationsof the joint spectral radius in dimension 500). We also applied thismethod to the approximation of the value function of switched linearquadratic optimal control problems.Le calcul d'ensembles invariants est un élément crucial en vérification de programme et en théorie du contrôle, car de tels ensembles certifient l'absence de comportements indésirables. Nous étudions en particulier les systèmes commutés, pour lesquel le calcul d'un ensemble invariant est déjà difficile. Plusieurs approches récentes utilisant des techniques d'optimisation telles la programmation semidéfinie ont été appliquées avec succès au calcul d'invariants quadratiques par morceaux pour des systèmes commutés. En revanche, ces méthodes ne sont pas utilisables en grande dimension car elles nécessitent trop de ressources informatiques.Nous développons dans cette thèse une nouvelle classe d'algorithme pour calculer des invariants quadratiques par morceaux. Ces algorithmes reposent sur les propriétés géométriques et métriques de l'espace des matrices positive semidéfinies équipées de l'ordre de Löwner.Tout d'abord, nous caractérisons l'ensemble des majorants minimaux dans cet ordre. Nous montrons que l'ensemble des majorants minimaux de deux matrices s'identifie au quotient d'un groupe orthogonal indéfini, donnant ainsi un raffinement "quantitatif" d'un théorème de Kadison. Plus généralement, nous caractérisons les majorants minimaux dans un ordre défini par un cône et nous prouvons qu'il existe pour une grande famille de cônes une sélection de majorant minimal canonique, définie à partir des fonctions génératrices de ces cônes. Ceci généralise la définition de l'ellipsoïde de Löwner. dans le cas du cône des matrices positives semidéfinies, nous montrons que cette sélection canonique satisfait plusieurs inégalités matricielles et nous donnons des estimations de sa constante de Lipschitz par rapport à plusieurs métriques convenables définies sur l'intérieur du cône (métrique Riemannienne, métrique de Thompson).Nous appliquons ensuite ces résultats au calcul d'invariants quadratiques par morceaux. Nous formulons ce dernier comme un problème de point fixe non-linéaire sur un produit de cônes de matrices positives semidéfinies. Ce problème fait intervenir un opérateur qui peut s'interpréter comme l'analogue tropical d'une application de Kraus (un canal quantique) qui apparaît en théorie d'information quantique. Nous obtenons ainsi une classe de schémas itératifs rapides, n'utilisant les inégalités linéaires matricielles, dont nous prouvons la convergence sous quelques restrictions. Nous avons implémenté cette approche en développant l'outil MEGA (``Minimal ellipsoid geometricanalyser''). Nos résultats expérimentaux démontrent une amélioration de l'ordre de quelques ordres de grandeur en termes de scalabilité (par exemple, approximation du "rayon spectral joint" en dimension 500). Nous avons aussi appliqué cette méthode à l'approximation de la fonction valeur d'un problème de contrôle optimal commutant entre des modèles linéaires-quadratiques

A convergent hierarchy of non-linear eigenproblems to compute the joint spectral radius of nonnegative matrices

18 pagesInternational audienceWe show that the joint spectral radius of a finite collection of nonnegative matrices can be bounded by the eigenvalue of a non-linear operator. This eigenvalue coincides with the ergodic constant of a risk-sensitive control problem, or of an entropy game, in which the state space consists of all switching sequences of a given length. We show that, by increasing this length, we arrive at a convergent approximation scheme to compute the joint spectral radius. The complexity of this method is exponential in the length of the switching sequences, but it is quite insensitive to the size of the matrices, allowing us to solve very large scale instances (several matrices in dimensions of order 1000 within a minute). An idea of this method is to replace a hierarchy of optimization problems, introduced by Ahmadi, Jungers, Parrilo and Roozbehani, by a hierarchy of nonlinear eigenproblems. To solve the latter eigenproblems, we introduce a projective version of Krasnoselskii-Mann iteration. This method is of independent interest as it applies more generally to the nonlinear eigenproblem for a monotone positively homogeneous map. Here, this method allows for scalability by avoiding the recourse to linear or semidefinite programming techniques

Maximal Lower Bounds in the Loewner order

International audienceWe show that the set of maximal lower bounds of two symmetric matrices with respect to Loewner order can be identified to the quotient set O(p,q)/(O(p)×O(q)). Here, (p,q)denotes the inertia of the difference of the two matrices, O(p) is the p-th orthogonal group, and O(p,q) is the indefinite orthogonal group arising from a quadratic form with inertia (p,q). We discuss the application of this result to the synthesis of ellipsoidal invariants of hybrid dynamical systems

Eigenvectors of Non-Linear Maps on the Cone of Positive Semidefinite Matrices Application to Stability Analysis

International audienceWe show that the problem of synthesis of a common Lyapunov function for some classes of switched linear systems can be approached by solving an eigenproblem involving a nonlinear map on the cone of positive semidefinite matrices. This map involves the selection of a maximal lower bound of a family of matrices in this cone. We present some variants of the power algorithm, allowing one to solve the nonlinear eigenproblem in a scalable way